数学の融合問題を解くための知識のつなぎ方

単元テストはできるのに融合問題で手が止まる理由

テストの結果を見て、こんな違和感はありませんか。

一次関数のテストは80点台。図形のテストも悪くない
なのに、関数と図形が混ざった問題になると、白紙に近い
解説を読むと「なるほど」と言うのに、次に似た問題が出ると、また止まる

保護者の方は、こう考えてしまいます。

「公式は覚えているはずなのに、なぜ？」
「演習量が足りないのかな。もっと問題を解かせるべき？」
「うちの子には、発想力やセンスがないのかも」

手が止まる原因は、センス不足でも、
演習量だけの問題でもないかもしれません。

こんにちは。雙葉進学教室の「ビッグロック博士」です。
数学の指導に40年携わり、教育学修士（数学教育）として、
子どもたちの考え方を研究してきました。
大阪・沖縄・愛知の塾や、東京の大手塾の海外校（ロンドン、ニューヨーク、上海）でも、
日本人児童の受験指導に関わりました。

その経験から感じるのは、

融合問題で止まる子の多くは、知識が「ない」のではなく、
知識が「つながっていない」
ということです。

今日は、その見分け方と、つなぎ方をお話しします。

知識が単元ごとに分断されていることが原因

公式や解き方は、単元ごとに別々の箱に入っていることが多い
融合問題は、箱と箱をまたいで、つなげて使う問題
箱の中身が正確でも、箱のあいだにつながりがないと、手が止まる
対策は、演習を増やす前に、知識を網にすること

この「箱」と「網」という言い方は、
分かりやすくするための私の表現です。

心理学では、知識のまとまりをスキーマと呼びます。

この記事では、「概念の網」と呼びます。

箱の知識と網の知識の違いを理解する

箱の知識とは何か

「一次関数」の箱に、傾きと切片と交点の求め方
「図形」の箱に、三角形の面積の公式
「方程式」の箱に、解き方

それぞれは正確です。

ただ、箱のあいだに道がありません。

網の知識とは何か

「直線とx軸の交点」を見たら、座標が、そのまま長さになると気づく
「面積」を見たら、底辺と高さを、座標から読むと気づく
「面積が○倍」を見たら、方程式に直せると気づく

箱のあいだに線があるのが、網の知識です。

心理学的視点から見た知識のつながり

オランダのスウェラー（Sweller）らは、1998年の論文で、こう整理しています。

ワーキングメモリ（頭の作業台）の容量は、限られている
長期記憶には、スキーマが蓄えられていて、その自動化の度合いはさまざま
だから学習では、作業台の負荷を減らし、スキーマの構築を促すことが大切

つまり、知識がつながって1つのまとまりになると、
頭の作業台に載せる量が減る
と考えられます。

本連載の第3回でお話しした「作業台」と、つながる話です。

研究①：問題の表面と中身を見る視点の違い

融合問題で止まる子は、問題のどこを見ているのでしょうか。

チー（Chi）らは、1981年の技術報告で、
物理の問題を使って調べました。

結論の要約は、こうです。

初心者は、問題の表面的な特徴に反応する
熟達者は、問題の深い構造に反応する

後年の研究が示す新たな視点

正直にお伝えします。この結論には、後年の再検討があります。

学部生約400名、大学院生21名、教員7名を対象にした研究
結論は、「初心者と熟達者に二分するのは適切でない」

この研究では、初心者でも、原理にもとづく分類が広く見られました。

ですから、私は「熟達者は深い構造を見る」と断定しません。

「表面ばかり見ていると、止まりやすいかもしれない」
という、考え方のヒント
として紹介します。

箱の知識になっているかを診断する方法

では、お子さんの知識が箱のままかどうか、どう見分けるか。

次の3つのサインを、見てみてください。

サイン①：単元テストと総合問題で点数に差がある

単元ごとのテストは取れる
模試や入試形式になると、急に落ちる

サイン②：単元の問題を特定できない

問題を見て、使う道具が思い浮かばない
「関数？図形？」と迷って、手が止まる

サイン③：解説を読んでも似た問題が解けない

「あ、そうやるんだ」と思う
でも、次に同じ構造の問題が出ても、気づけない

1つでも当てはまるなら、
知識を増やす前に、つなぎ直す
ほうが近道かもしれません。

概念の網を作るための3ステップ

ここからが、今日いちばんお伝えしたい部分です。

私が、家庭でもできる方法としておすすめするのは、次の3ステップです。（※この3ステップは、研究を踏まえて私が整理した提案です。研究の手順そのままではありません）

箱を書き出す：使えそうな道具を、ノートに並べる
線で結ぶ：道具と道具のあいだに、線を引いて、言葉をつける
問題で使う：実際の問題に網を当てて、使った線に印をつける

心理学の「概念地図（コンセプトマップ）」と、考え方が近い方法です。

ステップ1：知識の箱を書き出す

テーマは、「一次関数のグラフと三角形」とします。

ノートに、使えそうな道具を書き出します。

直線の式：y＝ax＋b
x軸、y軸との交点の求め方
三角形の面積：底辺×高さ÷2
方程式の解き方
座標の読み方

この段階では、まだバラバラでかまいません。

ステップ2：知識を線で結ぶ

次に、道具と道具を線で結んで、線の上に言葉を書きます。

交点の座標 ―（これが、そのまま）→ 線分の長さ
点のy座標 ―（これが）→ 三角形の高さ
面積の条件 ―（式にすると）→ 方程式

大切なのは、線に言葉をつけることです。

「関係がある」ではなく、
「座標が長さになる」
「条件が方程式になる」
と、何がどうつながるかを書きます。

ステップ3：問題で知識を使う

では、この網を使ってみましょう。

問題（作例です）：直線 y＝−2x＋8 が、x軸と交わる点をA、y軸と交わる点をBとします。原点をOとします。線分AB上に点Pをとり、△OAPの面積が、△OABの面積の4分の1になるようにするとき、点Pの座標を求めなさい。

網をたどりながら、解きます。

線①「交点の座標は、長さになる」

y＝0を代入すると、x＝4。よって A(4, 0)
x＝0を代入すると、y＝8。よって B(0, 8)

線②「底辺と高さを、座標から読む」

△OABの面積は、OA＝4、OB＝8だから、4×8÷2＝16
求める△OAPの面積は、その4分の1だから、4

線③「点Pのy座標が、高さになる」

点Pのx座標をtとすると、Pは直線上にあるので、y座標は −2t＋8
△OAPは、底辺OA＝4、高さが −2t＋8

線④「面積の条件を、方程式にする」

4×（−2t＋8）÷2＝4
2（−2t＋8）＝4
−4t＋16＝4
t＝3

y座標は、−2×3＋8＝2。よって、P(3, 2)

たしかめ算：△OAP＝4×2÷2＝4 。

これは16の4分の1です。

解き終わったら使った線に印をつける

ここが、ステップ3のポイントです。

使った線に、○をつける
今回は、4本の線を使った
「関数の問題」でも「図形の問題」でもなく、4つの線をたどった問題だった

こう振り返ると、「融合問題」の正体が見えてきます。

新しい知識が必要なのではなく、
持っている知識をつなぐ問題
なのです。

研究②：混ぜて練習することで道具を見分ける力を育てる

網ができたら、次は「どの線をたどるか」を見分ける練習です。

ここで参考になるのが、ロアラー（Rohrer）らの2020年の研究です。

対象：アメリカの7年生（日本の中学1年生にあたる年齢）787名
方法：無作為に2つの群に分けた
- 混ぜる群：4種類の問題（式、不等式、グラフ、円）を、混ぜて練習
- まとめる群：同じ問題を、種類ごとにまとめて練習
結果：約43日後のテストの平均は、混ぜる群が62.17、まとめる群が37.60

アメリカの教育省の評価機関（WWC）も、この研究を
「留保なしで基準を満たす」
と評価しています。

研究を読む際の注意点

測ったのは、「どの方法を使うかを見分ける練習」の効果です
「知識のつながり（スキーマ）が作られた」ことを直接測ったものではありません
得点は、著者が作ったテストの平均で、単位（百分率かどうか）は確認できていません
日本の中学生に、同じ結果が出るとは限りません

ですから、「混ぜれば網ができる」とは言いません。

ただ、単元ごとにまとめて練習すると、
「今日は二次関数の日」
と分かった状態で解くことになります。

本番は、何の単元か教えてくれません。

家庭では、こう取り入れてください。

週に1回、単元を混ぜた5問を解く
解く前に、「これは何の問題か」を一言書く

研究③：網の穴は前の単元にある可能性

網には、穴があることもあります。

atama plus（AI教材の会社）が2020年に公表した分析があります。

対象：中高生約6万人、数学のみ、2020年5〜7月
高校生の約46%が、中学の単元に何らかの困難があった
中学生の約55%が、小学校の単元に何らかの困難があった

ただし、限界があります。

自社サービスを使った生徒のデータで、全体を代表するとは限りません
「困難」の定義や測り方は、記事からは分かりません
数字は「約」で、誤差の幅も示されていません

ですから、「半分の子が穴だらけ」とは言いません。

ただ、
「新しい単元で止まったとき、原因は前の単元にあるかもしれない」
という視点は、役に立ちます。

穴の見つけ方は、簡単です。

止まった問題で、使う道具を書き出す
その道具の元になる単元まで、さかのぼる
そこだけ、解き直す

愛知県入試で求められる知識をつなぐ力

愛知県の公立高校入試（数学）について、確認できた範囲でお伝えします。

令和8年度の入試は、
マークシート形式、大問3つ、小問19問、満点22点
でした。

大問ごとの特徴は、こうです。

大問	出題
大問1	計算、関数、図形などの基本的な小問集合
大問2	確率、関数のグラフと図形、関数の利用
大問3	円周角と中心角、相似や三平方の定理を使う図形問題

この分析は、
「関数のグラフと図形」
「相似・円周角・三平方の定理の組み合わせ」
を、複数の単元が組み合わさる出題として挙げています。

全体としては、基本から標準レベルの出題が中心です。

つまり、
難しい公式を知っているかより、
知っている道具をつなげるか
が問われる場面がある、

ということです。

家庭でできる3つの声かけ

1. 問題を解く前に何と何をつなぐかを考える

量を増やす前に、問題の中身を言葉にしてもらいます。

2. 解き終わった問題で使った線を振り返る

先ほどの例のように、使った線に○をつけます。

答えが合っているかより、道筋を言えるかを見てください。

3. 解けなかった問題で切れていた線を探す

「分からなかった」で終わらせず、切れている線を見つけます。

見つかれば、そこだけ直せばいいのです。

網づくりは、叱って身につくものではありません。

「つながった」という実感
が、次の問題を解く力になります。

なお、全部を一度にやろうとしなくて大丈夫です。

まずは、1つの単元の組み合わせから、始めてみてください。

知識をつなぐ力を身につけるためのサポート

「単元テストは取れるのに、総合問題で止まる」
「家で網を描かせようとしたが、線の引き方が分からない」
「半田高校・横須賀高校を目指しているが、融合問題への対策が見えない」

そんなときは、数学の指導経験が豊富な第三者の目が役に立ちます。

雙葉進学教室は、愛知県半田市にある、数学・理科に特化した進学塾です。

40年の指導経験を持つ塾長が、半田高校・横須賀高校を目指す中学生に、解き方だけでなく、
単元をまたいで知識をつなぐ考え方と、問題の中身を見抜く習慣
から指導しています。

「公式は知っているのに解けない」を、
「つなげば解ける」に。

ぜひ一度、雙葉進学教室にご相談ください。