融合問題で手が止まるのは、センス不足ではない。公式を「網」にする数学の勉強法

単元テストはできるのに融合問題で手が止まる理由

テストの結果を見て、こんな違和感はありませんか。

• 一次関数のテストは80点台。図形のテストも悪くない
• なのに、関数と図形が混ざった問題になると、白紙に近い
• 解説を読むと「なるほど」と言うのに、次に似た問題が出ると、また止まる

保護者の方は、こう考えてしまいます。

• 「公式は覚えているはずなのに、なぜ？」
• 「演習量が足りないのかな。もっと問題を解かせるべき？」
• 「うちの子には、発想力やセンスがないのかも」

手が止まる原因は、センス不足でも、
演習量だけの問題でもないかもしれません。

こんにちは。雙葉進学教室の「ビッグロック博士」です。
数学の指導に40年携わり、教育学修士（数学教育）として、
子どもたちの考え方を研究してきました。
大阪・沖縄・愛知の塾や、東京の大手塾の海外校（ロンドン、ニューヨーク、上海）でも、
日本人児童の受験指導に関わりました。

その経験から感じるのは、

融合問題で止まる子の多くは、知識が「ない」のではなく、
知識が「つながっていない」
ということです。

今日は、その見分け方と、つなぎ方をお話しします。

知識が単元ごとに分断されていることが原因

• 公式や解き方は、単元ごとに別々の箱に入っていることが多い
• 融合問題は、箱と箱をまたいで、つなげて使う問題
• 箱の中身が正確でも、箱のあいだにつながりがないと、手が止まる
• 対策は、演習を増やす前に、知識を網にすること

この「箱」と「網」という言い方は、
分かりやすくするための私の表現です。

心理学では、知識のまとまりをスキーマと呼びます。

この記事では、「概念の網」と呼びます。

箱の知識と網の知識の違いを理解する

箱の知識とは何か

• 「一次関数」の箱に、傾きと切片と交点の求め方
• 「図形」の箱に、三角形の面積の公式
• 「方程式」の箱に、解き方

それぞれは正確です。

ただ、箱のあいだに道がありません。

網の知識とは何か

• 「直線とx軸の交点」を見たら、座標が、そのまま長さになると気づく
• 「面積」を見たら、底辺と高さを、座標から読むと気づく
• 「面積が○倍」を見たら、方程式に直せると気づく

箱のあいだに線があるのが、網の知識です。

心理学的視点から見た知識のつながり

オランダのスウェラー（Sweller）らは、1998年の論文で、こう整理しています。

• ワーキングメモリ（頭の作業台）の容量は、限られている
• 長期記憶には、スキーマが蓄えられていて、その自動化の度合いはさまざま
• だから学習では、作業台の負荷を減らし、スキーマの構築を促すことが大切

つまり、知識がつながって1つのまとまりになると、
頭の作業台に載せる量が減る
と考えられます。

本連載の第3回でお話しした「作業台」と、つながる話です。

研究①：問題の表面と中身を見る視点の違い

融合問題で止まる子は、問題のどこを見ているのでしょうか。

チー（Chi）らは、1981年の技術報告で、
物理の問題を使って調べました。

結論の要約は、こうです。

• 初心者は、問題の表面的な特徴に反応する
• 熟達者は、問題の深い構造に反応する

後年の研究が示す新たな視点

正直にお伝えします。この結論には、後年の再検討があります。

• 学部生約400名、大学院生21名、教員7名を対象にした研究
• 結論は、「初心者と熟達者に二分するのは適切でない」

この研究では、初心者でも、原理にもとづく分類が広く見られました。

ですから、私は「熟達者は深い構造を見る」と断定しません。

「表面ばかり見ていると、止まりやすいかもしれない」
という、考え方のヒント
として紹介します。

箱の知識になっているかを診断する方法

では、お子さんの知識が箱のままかどうか、どう見分けるか。

次の3つのサインを、見てみてください。

サイン①：単元テストと総合問題で点数に差がある

• 単元ごとのテストは取れる
• 模試や入試形式になると、急に落ちる

サイン②：単元の問題を特定できない

• 問題を見て、使う道具が思い浮かばない
• 「関数？ 図形？」と迷って、手が止まる

サイン③：解説を読んでも似た問題が解けない

• 「あ、そうやるんだ」と思う
• でも、次に同じ構造の問題が出ても、気づけない

1つでも当てはまるなら、
知識を増やす前に、つなぎ直す
ほうが近道かもしれません。

概念の網を作るための3ステップ

ここからが、今日いちばんお伝えしたい部分です。

私が、家庭でもできる方法としておすすめするのは、次の3ステップです。（※この3ステップは、研究を踏まえて私が整理した提案です。研究の手順そのままではありません）

1. 箱を書き出す：使えそうな道具を、ノートに並べる
2. 線で結ぶ：道具と道具のあいだに、線を引いて、言葉をつける
3. 問題で使う：実際の問題に網を当てて、使った線に印をつける

心理学の「概念地図（コンセプトマップ）」と、考え方が近い方法です。

ステップ1：知識の箱を書き出す

テーマは、「一次関数のグラフと三角形」とします。

ノートに、使えそうな道具を書き出します。

• 直線の式：y＝ax＋b
• x軸、y軸との交点の求め方
• 三角形の面積：底辺×高さ÷2
• 方程式の解き方
• 座標の読み方

この段階では、まだバラバラでかまいません。

ステップ2：知識を線で結ぶ

次に、道具と道具を線で結んで、線の上に言葉を書きます。

• 交点の座標 ―（これが、そのまま）→ 線分の長さ
• 点のy座標 ―（これが）→ 三角形の高さ
• 面積の条件 ―（式にすると）→ 方程式

大切なのは、線に言葉をつけることです。

「関係がある」ではなく、
「座標が長さになる」
「条件が方程式になる」
と、何がどうつながるかを書きます。

ステップ3：問題で知識を使う

では、この網を使ってみましょう。

問題（作例です）：直線 y＝−2x＋8 が、x軸と交わる点をA、y軸と交わる点をBとします。原点をOとします。線分AB上に点Pをとり、△OAPの面積が、△OABの面積の4分の1になるようにするとき、点Pの座標を求めなさい。

網をたどりながら、解きます。

線①「交点の座標は、長さになる」

• y＝0を代入すると、x＝4。よって A(4, 0)
• x＝0を代入すると、y＝8。よって B(0, 8)

線②「底辺と高さを、座標から読む」

• △OABの面積は、OA＝4、OB＝8だから、4×8÷2＝16
• 求める△OAPの面積は、その4分の1だから、4

線③「点Pのy座標が、高さになる」

• 点Pのx座標をtとすると、Pは直線上にあるので、y座標は −2t＋8
• △OAPは、底辺OA＝4、高さが −2t＋8

線④「面積の条件を、方程式にする」

• 4×（−2t＋8）÷2＝4
• 2（−2t＋8）＝4
• −4t＋16＝4
• t＝3

y座標は、−2×3＋8＝2。よって、P(3, 2)

たしかめ算：△OAP＝4×2÷2＝4 。

これは16の4分の1です。

解き終わったら使った線に印をつける

ここが、ステップ3のポイントです。

• 使った線に、○をつける
• 今回は、4本の線を使った
• 「関数の問題」でも「図形の問題」でもなく、4つの線をたどった問題だった

こう振り返ると、「融合問題」の正体が見えてきます。

新しい知識が必要なのではなく、
持っている知識をつなぐ問題
なのです。

研究②：混ぜて練習することで道具を見分ける力を育てる

網ができたら、次は「どの線をたどるか」を見分ける練習です。

ここで参考になるのが、ロアラー（Rohrer）らの2020年の研究です。

• 対象：アメリカの7年生（日本の中学1年生にあたる年齢）787名
• 方法：無作為に2つの群に分けた
  • 混ぜる群：4種類の問題（式、不等式、グラフ、円）を、混ぜて練習
  • まとめる群：同じ問題を、種類ごとにまとめて練習
• 結果：約43日後のテストの平均は、混ぜる群が62.17、まとめる群が37.60

アメリカの教育省の評価機関（WWC）も、この研究を
「留保なしで基準を満たす」
と評価しています。

研究を読む際の注意点

• 測ったのは、「どの方法を使うかを見分ける練習」の効果です
• 「知識のつながり（スキーマ）が作られた」ことを直接測ったものではありません
• 得点は、著者が作ったテストの平均で、単位（百分率かどうか）は確認できていません
• 日本の中学生に、同じ結果が出るとは限りません

ですから、「混ぜれば網ができる」とは言いません。

ただ、単元ごとにまとめて練習すると、
「今日は二次関数の日」
と分かった状態で解くことになります。

本番は、何の単元か教えてくれません。

家庭では、こう取り入れてください。

• 週に1回、単元を混ぜた5問を解く
• 解く前に、「これは何の問題か」を一言書く

研究③：網の穴は前の単元にある可能性

網には、穴があることもあります。

atama plus（AI教材の会社）が2020年に公表した分析があります。

• 対象：中高生約6万人、数学のみ、2020年5〜7月
• 高校生の約46%が、中学の単元に何らかの困難があった
• 中学生の約55%が、小学校の単元に何らかの困難があった

ただし、限界があります。

• 自社サービスを使った生徒のデータで、全体を代表するとは限りません
• 「困難」の定義や測り方は、記事からは分かりません
• 数字は「約」で、誤差の幅も示されていません

ですから、「半分の子が穴だらけ」とは言いません。

ただ、
「新しい単元で止まったとき、原因は前の単元にあるかもしれない」
という視点は、役に立ちます。

穴の見つけ方は、簡単です。

• 止まった問題で、使う道具を書き出す
• その道具の元になる単元まで、さかのぼる
• そこだけ、解き直す

愛知県入試で求められる知識をつなぐ力

愛知県の公立高校入試（数学）について、確認できた範囲でお伝えします。

令和8年度の入試は、
マークシート形式、大問3つ、小問19問、満点22点
でした。

大問ごとの特徴は、こうです。

この分析は、
「関数のグラフと図形」
「相似・円周角・三平方の定理の組み合わせ」
を、複数の単元が組み合わさる出題として挙げています。

全体としては、基本から標準レベルの出題が中心です。

つまり、
難しい公式を知っているかより、
知っている道具をつなげるか
が問われる場面がある、

ということです。

家庭でできる3つの声かけ

1. 問題を解く前に何と何をつなぐかを考える

量を増やす前に、問題の中身を言葉にしてもらいます。

2. 解き終わった問題で使った線を振り返る

先ほどの例のように、使った線に○をつけます。

答えが合っているかより、道筋を言えるかを見てください。

3. 解けなかった問題で切れていた線を探す

「分からなかった」で終わらせず、切れている線を見つけます。

見つかれば、そこだけ直せばいいのです。

網づくりは、叱って身につくものではありません。

「つながった」という実感
が、次の問題を解く力になります。

なお、全部を一度にやろうとしなくて大丈夫です。

まずは、1つの単元の組み合わせから、始めてみてください。

知識をつなぐ力を身につけるためのサポート

「単元テストは取れるのに、総合問題で止まる」
「家で網を描かせようとしたが、線の引き方が分からない」
「半田高校・横須賀高校を目指しているが、融合問題への対策が見えない」

そんなときは、数学の指導経験が豊富な第三者の目が役に立ちます。

雙葉進学教室は、愛知県半田市にある、数学・理科に特化した進学塾です。

40年の指導経験を持つ塾長が、半田高校・横須賀高校を目指す中学生に、解き方だけでなく、
単元をまたいで知識をつなぐ考え方と、問題の中身を見抜く習慣
から指導しています。

「公式は知っているのに解けない」を、
「つなげば解ける」に。

ぜひ一度、雙葉進学教室にご相談ください。